Question

（2011•廣州模擬）已知直線y=k（x-2）（k＞0）與拋物線y²=8x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k的值為

2

2

．

Answer 1

分析：先過A，B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，再過B作AC的垂線，垂足分別為C，D，E，在直角三角形ABE中，求得cos∠BAE，進(jìn)而可求直線AB的斜率

解答：解：∵直線y=k（x-2）（k＞0）恒過定點(diǎn)（2，0）即為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F
過A，B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，再過B作AC的垂線，垂足為E，
設(shè)|BF|=m，
∵|FA|=2|FB|，
∴|AF|=2m
∴AC=AF=2m，|BD|=|BF|=m
如圖，在直角三角形ABE中，AE=AC-BD=2m-m=m，AB=3m，
∴cos∠BAE=

AE

AB

=

1

3

∴直線AB的斜率為：k=tan∠BAE=2

2

故答案為2

2

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)、共線向量及解三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義作出直角三角形ABE，從而求得直線的斜率，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合起來的思想