Question

已知指數函數y=g（x）滿足：g（3）=8，定義域為R的函數f（x）=

n-g(x)

m+2g(x)

是奇函數．
（1）確定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法設出指數函數的解析式，根據所給條件g（3）=8，列出方程，求出a的值，即可得到y=g（x）的解析式；
（2）求出f（x）的解析式，根據f（x）為奇函數，得到f（0）=0，f（-1）=-f（1），列出方程，即可得到m，n的值；
（3）判斷出f（x）的單調性，結合f（x）的奇偶性，將不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，轉化為2t-3t²＜k-t²對任意的t∈R恒成立，利用二次函數的性質，列出不等關系，求解即可得到實數k的取值范圍．

解答：解：（1）∵y=g（x）是指數函數，
∴設g（x）=a^x（a＞0，且a≠1），
∵g（3）=8，
∴a³=8，解得a=2，
故g（x）=2^x；
（2）∵f（x）=

n-g(x)

m+2g(x)

，且g（x）=2^x，
∴f（x）=

n-2x

m+2x+1

，
∵f（x）=

n-2x

m+2x+1

是奇函數，
∴f（0）=0，即

n-1

2+m

=0，解得n=1，
∴f（x）=

1-2x

m+2x+1

，
又∵f（-1）=-f（1），
∴

1- 1 2

m+1

=

1-2

4+m

，解得m=2，
故m=2，n=1；    　　　　　　           
（3）由（2）知，f（x）=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵y=2^x+1在R上單調遞增，則y=

1

2x+1

在R上單調遞減，
∴f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

在R上單調遞減，
∵不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0，
∴f（2t-3t²）＞-f（t²-k），
又∵f（x）是R上的奇函數，
∴f（2t-3t²）＞f（k-t²），
又f（x）是R上的單調遞減函數，
∴f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0對任意的t∈R恒成立，轉化為2t-3t²＜k-t²對任意的t∈R恒成立，
∴2t²-2t+k＞0對任意的t∈R恒成立，
∴△=（-2）²-4×2×k＜0，解得k＞

1

2

，
故實數k的取值范圍為k＞

1

2

．

點評：本題考查了函數解析式的求解，求函數解析式常見的方法有：待定系數法，換元法，配湊法，消元法等．同時考查了函數的恒成立問題，函數恒成立問題的，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．屬于中檔題．