Question

【題目】某地政府為了幫助當地農民脫貧致富,開發了一種新型水果類食品,該食品生產成本為每件8元.當天生產當天銷售時,銷售價為每件12元,當天未賣出的則只能賣給水果罐頭廠,每件只能賣5元.每天的銷售量與當天的氣溫有關,根據市場調查,若氣溫不低于,則銷售5000件;若氣溫位于,則銷售3500件;若氣溫低于,則銷售2000件.為制定今年8月份的生產計劃,統計了前三年8月份的氣溫范圍數據,得到下面的頻數分布表:

氣溫范圍 (單位:)
天數	4	14	36	21	15

以氣溫范圍位于各區間的頻率代替氣溫范圍位于該區間的概率.

(1)求今年8月份這種食品一天銷售量(單位:件)的分布列和數學期望值;

(2)設8月份一天銷售這種食品的利潤為(單位:元),當8月份這種食品一天生產量(單位:件)為多少時,的數學期望值最大,最大值為多少

Answer 1

【答案】（1）見解析，； （2）當時，的數學期望達到最大值，最大值為.

【解析】

(1)今年8月份這種食品一天的銷量的可能取值為2000、3500、5000件,求出,和,即可求得隨機變量的分布列和數學期望.

(2)由題意知,這種食品一天的需求量至多為5000件,至少為2000件,所以只需要考慮.分別討論,和,即可求得的數學期望最大值.

(1)今年8月份這種食品一天的銷量的可能取值為2000、3500、5000件,

于是的分布列為:

	2000	3500	5000
	0.2	0.4	0.4

的數學期望為.

(2)由題意知,這種食品一天的需求量至多為5000件,至少為2000件,

只需要考慮,

當時,

若氣溫不低于30度,則;

若氣溫位于,則;

若氣溫低于25度,則;

此時,

當時,

若氣溫不低于25度,則;

若氣溫低于25度,則;

此時;

時,的數學期望達到最大值,最大值為.