Question

（2006•豐臺區二模）如圖，水平地面上有一個大球，現有如下方法測量球的大小：用一個銳角為45°的三角板，斜邊緊靠球面，一條直角邊緊靠地面，并使三角板與地面垂直，P為三角板與球的切點，如果測得PA=2，則球的表面積為

(48+32

2

)π

．

Answer 1

分析：設球與地面的切點為B，球心為O，連結OA、OB、OP．由切線的性質和四邊形ABOP內角和定理，算出∠POB=45°，因此△POA中，可得∠POA=

1

2

×45°=22.5°．由正切的定義在Rt△POA中算出OP=

PA

tan22.5°

=2+2

2

，得球半徑R=2+2

2

，再利用球表面積公式可算出答案．

解答：解：設球與地面的切點為B，球心為O，連結OA、OB、OP
∵四邊形ABOP中，OP⊥AP，OB⊥AB
∴∠POB=180°-∠PAB=∠PAC=45°
因此，△POA中∠POA=

1

2

×45°=22.5°
Rt△POA中，tan∠POA=

PA

OP

，得OP=

PA

tan22.5°

=

2

2 -1

=2+2

2

即球的半徑R=2+2

2

，得球的表面積為
S=4πR²=4π×（2+2

2

）²=(48+32

2

)π
故答案為：(48+32

2

)π

點評：本題給出球與等腰直角三角板相切，在已知切點到等腰直角三角形的頂點的距離情況下，求球的表面積．著重考查了切線的性質、四邊形ABOP內角和定理、球的表面積公式等知識，屬于中檔題．