Question

（本小題滿分14分）已知二次函數滿足且.

（Ⅰ）求的解析式.

（Ⅱ）在區間上, 的圖象恒在的圖象上方，試確定實數的范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f(x)=x²-x+1；

（Ⅱ）m<-1

【解析】本試題主要是考查了二次函數的圖像與性質的運用，以及二次不等式的求解的綜合運用。

（1）根據已知函數滿足的關系式得到參數a,b,c的值，進而得到解析式。

（2）由于函數在給定區間上，圖像恒在直線的上方，則利用數形結合思想可知，實數m的范圍。

解： (Ⅰ)設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，

故f（x）=ax²+bx+1. ………………………2分

∵f(x+1)-f(x)=2x,

∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.

即2ax+a+b=2x, ………………………4分

所以,………………………6分

∴f(x)=x²-x+1. ………………………7分

(Ⅱ)由題意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.

設g(x)= x²-3x+1-m,其圖象的對稱軸為直線x=,………………………9分

所以g(x) 在[-1,1]上遞減.

故只需g(1)>0, 即1²-3×1+1-m>0,  ………………………12分

解得m<-1.      ………………………14分