Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為1，E，F分別為棱BB₁和DD₁的中點．
（1）求證：平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）求四面體A₁-FEA的體積．
（3）若G是C₁D₁上靠近C₁的四等分點，動點H在底面ABCD內，且AH=

1

2

，請說明點H的軌跡，并探求GH長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）先證線面平行，再利用面面平行的判定定理證明平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）利用三棱錐的換底性，得VA1-AEF=VE-A1AF，求出三棱錐E-A₁AF的體積即可；
（3）由AH=

1

2

，動點H在底面ABCD內，故點H的軌跡為

1

4

圓弧，根據MH≥MA-AH，求出MH，利用GH=

GH2+MH2

求得最小值．

解答：解：（1）∵E，F分別為棱BB₁和DD₁的中點，∴FD∥B₁E，FD=B₁E，
∴四邊形FDEB₁為平行四邊形，∴DF∥FB₁，DF?平面ADE，FB₁?平面ADE，
∴FB₁∥平面ADE，
又AD∥B₁C₁，AD?平面ADE，B₁C₁?平面ADE，∴B₁C₁∥平面ADE，
又FB₁∩B₁C₁=B₁，∴平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）連接EF、AF、A₁F，A₁E，
∴VA1-AEF=VE-A1AF=

1

3

×

1

2

×AA₁×AD×AB=

1

6

×1×1×1=

1

6

；
（3）∵AH=

1

2

，動點H在底面ABCD內，∴點H的軌跡為

1

4

圓弧，
過G作GM⊥CD，垂足為M，∵MH≥MA-AH=

( 3 4 )2+12

-

1

2

=

3

4

，
又GH=

GH2+MH2

≥

12+( 3 4 )2

=

5

4

．
∴GH長度的最小值為

5

4

．

點評：本題考查了面面平行的判定，棱錐的體積計算及點到點的距離的求法，考查了識圖、作圖能力與空間想象能力，正確判定點H的軌跡是求得GH最小值的關鍵．