Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镹^*，且f（x+1）=f（x）+x，f（1）=0．
（1）求f（x）的解析式．
（2）設(shè)，問是否存在最大的正整數(shù)m，使得對(duì)任意的n∈N*均有恒成立？若存在，求出m值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=n，可得f（n+1）-f（n）=n，利用疊加法，可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先裂項(xiàng)=2（）（n≥2），再求和，確定S_n（n≥2）遞增，可得（S_n）_min=a₂=1，對(duì)任意的n∈N^*均有恒成立，轉(zhuǎn)化為，由此可得結(jié)論．
解答：解：（1）令x=n，則由f（x+1）=f（x）+x可得f（n+1）-f（n）=n
∴f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+…+[f（n）-f（n-1）]=1+2+…+（n-1）=（n≥2）
n=1時(shí)，f（1）=0也滿足上式
∴
∴f（x）=；
（2）=2（）（n≥2）
∴S_n=2[（1-）+（）+…+（）]=2-
∵n≥2時(shí)，
∴S_n（n≥2）遞增，
∴（S_n）_min=a₂=1
∵對(duì)任意的n∈N^*均有恒成立
∴
∴m＜2012
∴最大的正整數(shù)m為2011．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式，考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查疊加法，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，考查恒成立問題，綜合性強(qiáng)．