Question

【題目】如圖，已知AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為E，弦AG交CD于F.

(1)求證：E，F，G，B四點共圓；

(2)若GF＝2FA＝4，求線段AC的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）連結BG，由AB為直徑可知∠AGB=90°，又CD⊥AB，由此能證明E、F、G、B四點共圓；

（2）連結BC，由E、F、G、B四點共圓，運用切割線定理，得AFAG=AEBA，再由直角三角形ABC中的射影定理，得AC2=AEBA，代入數據，即可求出線段AC的長．

試題解析：

解：(1)證明：如圖，連接GB，由AB為圓O的直徑可知∠AGB＝90°.

又CD⊥AB，所以∠AGB＝∠BEF＝90°.

因此E，F，G，B四點共圓．

(2)連接BC.

由E，F，G，B四點共圓得AF·AG＝AE·AB.

又AF＝2，AG＝6，

所以AE·AB＝12.

因為在Rt△ABC中，AC2＝AE·AB，所以AC＝2.