Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₁=2，且其前10項(xiàng)和為65，又正項(xiàng)數(shù)列{b_n}滿足bn=

n+1

an

 (n∈N*)
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）比較b₁，b₂，b₃，b₄的大小；
（3）求數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)；
（4）令c_n=lga_n，數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列嗎？說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d，由題設(shè)條件得d=1，從而a_n=n+1，由此可得到bn=

n+1	n+1

．
（2）由題設(shè)條件知b1=

2

=

6	23

＜

6	32

=

3	3

=b2b3=

4	4

=

2

=b1，b3=

4	4

=

20	45

＞

20	54

=

5	5

=b4，由此可知b₂＞b₁=b₃＞b₄
（3）由題設(shè)猜想當(dāng)n≥2時(shí)，

n+1	n+1

＞

n+2	n+2

，再通過導(dǎo)數(shù)證明猜想正確，從而得到數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)是b2=

3	3

．
（4）由題設(shè)條件知cncn+2=lg(n+1)lg(n+3)＜[

lg(n+1)+lg(n+3)

2

]2=[

lg(n+1)lg(n+3)

2

]2＜[

lg(n+2)2

2

]2=c_n+1²，由此知{c_n}不是等比數(shù)列．

解答：解：（1）設(shè){a_n}的公差為d
，則65=10a1+

10×9

2

d
且a₁=2，得d=1，從而a_n=n+1
故bn=

n+1	n+1

；
（2）b1=

2

=

6	23

＜

6	32

=

3	3

=b2b3=

4	4

=

2

=b1，
b3=

4	4

=

20	45

＞

20	54

=

5	5

=b4
∴b₂＞b₁=b₃＞b₄
（3）由（2）猜想{b_n+1}遞減，即猜想當(dāng)n≥2時(shí)，

n+1	n+1

＞

n+2	n+2

考察函數(shù)y=

lnx

x

 (x＞e)，當(dāng)x＞e時(shí)lnx＞1y′=

1-lnx

x2

＜0
故y=

lnx

x

在（e，+∞）上是減函數(shù)，而n+1≥3＞e
所以

ln(x+2)

x+2

＜

ln(x+1)

x+1

，即

n+2	n+2

＜

n+1	n+1

于是猜想正確，因此，數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)是b2=

3	3

；
（4）{c_n}不是等比數(shù)列
由c_n=lga_n=lg（n+1）知
cncn+2=lg(n+1)lg(n+3)＜[

lg(n+1)+lg(n+3)

2

]2
=[

lg(n+1)lg(n+3)

2

]2＜[

lg(n+2)2

2

]2
=lg²（n+2）
=c_n+1²
故{c_n}不是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．