Question

橢圓的焦點為F1，

F

2

，過點F₁作直線與橢圓相交，被橢圓截得的最短的弦長MN長為

32

5

，△MF₂N的周長為20，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  3

  5

• B．

  2 2

  5

• C．

  4

  5

• D．

  17

  5

Answer 1

分析：橢圓的離心率e=

c

a

，根據題目條件，MN的長度為橢圓通徑的長，△MF₂N的周長為4a，列方程即可解得a、c的值，進而求得離心率．

解答：解：解：∵△MF₂N的周長=MF₁+MF₂+NF₁+NF₂=2a+2a=4a=20，∴a=5，
又由橢圓的幾何性質，過焦點的最短弦為通徑長

2b2

a

∴MN=

2b2

a

=

32

5

，
∴b²=16，c²=a²-b²=9，
∴c=3
∴e=

c

a

=

3

5

，
故選A．

點評：本題主要考查了橢圓的定義，橢圓的幾何性質，此類型題目要求我們應掌握橢圓中特殊的線段的長度，如通徑等．