Question

【題目】設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=btanA，且B為鈍角．
（1）求B﹣A的值；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得a=btanA，

∴由正弦定理得 ，則sinB=cosA，

∵B為鈍角，∴B= ，

∴B﹣A=

（2）解：由（1）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+ +A）= ﹣2A＞0，

∴A∈（0， ），

∴sinA+sinC=sinA+sin（ ﹣2A）

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A

=﹣2（sinA﹣ ）2+ ，

∵A∈（0， ），∴0＜sinA＜ ，

∴由二次函數可知， ＜﹣2（sinA﹣ ）2+ ≤ ，

∴sinA+sinC的取值范圍為（ ， ]

【解析】（1）根據正弦定理、商的關系化簡已知的式子，由條件和誘導公式求出B﹣A的值；（2）由（1）求出C和A的范圍，由誘導公式和二倍角的余弦公式變形化簡，利用換元法和二次函數的性質求出式子的范圍．
【考點精析】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式的相關知識點，需要掌握兩角和與差的余弦公式：才能正確解答此題．