Question

（2012•泉州模擬）設函數f（x）=ln|x|-x²+ax．
（Ⅰ）求函數f（x）的導函數f′（x）；
（Ⅱ）若x₁、x₂為函數f（x）的兩個極值點，且x1+x2=-

1

2

，試求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）設函數f（x）在點C（x₀，f（x₀））（x₀為非零常數）處的切線為l，若函數f（x）圖象上的點都不在直線l的上方，試探求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數的定義域，分類討論，將函數化簡，再求導函數即可；
（Ⅱ）根據x₁、x₂為函數f（x）的兩個極值點，利用韋達定理，可求a的值，即得到函數解析式，求導函數，利用f'（x）≥0，可得函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）確定切線l的方程，再構造新函數g（x），求導數，確定函數的單調性與極值，從而函數f（x）=ln|x|-x²+ax的圖象恒在直線l的下方或直線l上，等價于g（x）≤0對x≠0恒成立，即只需g（x₀）≤0和g(-

1

2x0

)=ln

1

2x02

+

1

4x02

-x02≤0，由此可得x₀的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=ln|x|-x²+ax的定義域為{x|x∈R，x≠0}．
當x＞0時，f（x）=lnx-x²+ax，∴f′(x)=

1

x

-2x+a；  …（1分）
當x＜0時，f（x）=ln（-x）-x²+ax，∴f′(x)=

1

x

-2x+a； …（3分）
綜上可得 f′(x)=

1

x

-2x+a(x≠0)．…（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=

1

x

-2x+a=

-2x2+ax+1

x

，x₁、x₂為函數f（x）的兩個極值點，
∴x₁、x₂為方程-2x²+ax+1=0的兩根，所以x1+x2=

a

2

，
又∵x1+x2=-

1

2

，∴a=-1．…（5分）
此時，f′(x)=

-2x2-x+1

x

=

-(2x-1)(x+1)

x

，
由f'（x）≥0得

(2x-1)(x+1)

x

≤0，
當x＞0時，(2x-1)(x+1)≤0，-1≤x＜

1

2

，此時0＜x≤

1

2

；
當x＜0時，（2x-1）（x+1）≥0，∴x≤-1或x≥

1

2

，此時x≤-1．
∴當f'（x）≥0時，x≤-1或0＜x≤

1

2

．…（7分）
當f'（x）≤0時，同理解得-1≤x＜0或x≥

1

2

．…（8分）
綜上可知a=-1滿足題意，且函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1]和(0，

1

2

]．…（9分）
（Ⅲ）∵f′(x0)=

1

x0

-2x0+a，又C(x0，ln|x0|-x02+ax0)，
∴切線l的方程為y-(ln|x0|-x02+ax0)=(

1

x0

-2x0+a)(x-x0)，
即y=(

1

x0

-2x0+a)x-1+x02+ln|x0|（x₀為常數）．…（10分）
令g(x)=f(x)-((

1

x0

-2x0+a)x-1+x02+ln|x0|)=ln|x|-x2-((

1

x0

-2x0)x-1+x02+ln|x0|)，g′(x)=

1

x

-2x-(

1

x0

-2x0)=-(x-x0)(

2xx0+1

xx0

)=-

2(x-x0)(x+ 1 2x0 )

x

，（11分）
當x₀＞0時，x、g'（x）、g（x）的關系如下表：

x	(-∞，- 1 2x0 )	- 1 2x0	(- 1 2x0 ，0)	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
g'（x）	+	0	-	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘	↗	極大值	↘

當x₀＜0時，x、g'（x）、g（x）的關系如下表：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，0）	(0，- 1 2x0 )	- 1 2x0	(- 1 2x0 ，+∞)
g'（x）	+	0	-	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘	↗	極大值	↘

函數f（x）=ln|x|-x²+ax的圖象恒在直線l的下方或直線l上，
等價于g（x）≤0對x≠0恒成立．
∴只需g（x₀）≤0和g(-

1

2x0

)=ln

1

2x02

+

1

4x02

-x02≤0同時成立．…（12分）
∵g（x₀）=0，∴只需g(-

1

2x0

)=ln

1

2x02

+

1

4x02

-x02≤0．
下面研究函數m(x)=lnx+

x

2

-

1

2x

(x＞0)，
∵m′(x)=

1

x

+

1

2

+

1

2

•

1

x2

=

(x+1)2

2x2

＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上單調遞增，
注意到m（1）=0，∴當且僅當0＜x≤1時，m（x）≤0．…（13分）
∴當且僅當0＜

1

2x02

≤1時，g(-

1

2x0

)≤0，
由0＜

1

2x02

≤1解得x0≥

2

2

或x0≤-

2

2

．
∴x₀的取值范圍是(-∞，-

2

2

]∪[

2

2

，+∞)．…（14分）

點評：本題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、函數與方程思想．