Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓短軸端點(diǎn)，若為直角三角形且周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線,斜率的乘積為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)的形狀以及周長，計(jì)算出的值，從而橢圓的方程可求；

（2）分類討論直線的斜率是否存在：若不存在，直接分析計(jì)算即可；若存在，聯(lián)立直線與橢圓方程，得到坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的韋達(dá)定理形式，再根據(jù)條件將直線方程中的參數(shù)關(guān)系找到，由此即可化簡計(jì)算出的取值范圍.

（1）因?yàn)?/span>為直角三角形，所以，，

又周長為，所以，故，，，

所以橢圓：.

（2）設(shè)，，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

,，，所以，

又，解得，，.

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

由得，

得

即，

，

由得，即，

所以

所以.