Question

【題目】已知n∈N* ， 設(shè)Sn是單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1= 且S2+a2 ， S4+a4 ， S3+a3成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 求證：對(duì)于任意正整數(shù)n， ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)數(shù)列 {an}的公比為q，由2（S4+a4）=S2+a2+S3+a3，

得（S4﹣S2）+（S4﹣S3）+2a4=a2+a3，即4a4=a2，

∴q2= ，

∵{an}是單調(diào)遞減數(shù)列，

∴q= ，

∴an=（ ）n．

（2）解：由（1）知 ，

∴ ，

① ，②

②﹣①得： ， ，

由 ，得T1＜T2＜T3＜…＜Tn，

故 ，

又 ，

因此對(duì)于任意正整數(shù)n，

【解析】（1）依題意可求得q= ，而a1=1，從而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）利用“錯(cuò)位相減法”即可得出數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 再利用放縮法即可證明．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．