Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，M、N是橢圓右準線上的兩個動點，且

F1M

•

F2N

=0．
（1）設C是以MN為直徑的圓，試判斷原點O與圓C的位置關系；
（2）設橢圓的離心率為

1

2

，MN的最小值為2

15

，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）C是以MN為直徑的圓，求出M，N的坐標，利用

F1M

•

F2N

=0，判斷

OM

•

ON

＞0，求得原點O在圓C的內部；
（2）設橢圓的離心率為

1

2

，推出a=2c，利用基本不等式，通過MN的最小值為2

15

求出c，a，b，從而求出橢圓方程．

解答：解：（1）設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦距為2c（c＞0），
則其右準線方程為x=

a2

c

，且F₁（-c，0），F₂（c，0）．
設M(

a2

c

，y1)，N(

a2

c

，  y2)，
則

F1M

=(

a2

c

+c，y1)，

F2

N=(

a2

c

-c， y2)

OM

=(

a2

c

，y1)，

ON

=(

a2

c

， y2)．
因此

F1M

F2N

=0，所以(

a2

c

+c，y1)•(

a2

c

-c，y2)=0
即(

a2

c

)2+y1y2=c2．
于是

OM

•

ON

= (

a2

c

)2+y1y2=c2＞0，故∠MON為銳角．
所以原點O在圓C外．
（2）因為橢圓的離心率為

1

2

，所以a=2c，
于是M（4c，y₁）N（4c，y₂），且y1y2=c2-(

a2

c

)2=-15c2
MN²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂=|y₁|²+|y₂|²+2|y₁y₂|≥4|y₁y₂|=60c²．
當且僅當y₁=-y₂=

15

c或y₂=-y₁=

15

c時取“=”號，
所以（MN）_min=2

15

c=2

15

，于是c=1，從而a=2，b=

3

，
故所求的橢圓方程是

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：本題考查點與圓的位置關系，橢圓的標準方程，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力，是中檔題．