【題目】已知橢圓
的實軸長為4，焦距為
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設直線l經過點
且與橢圓C交于不同的兩點M，N（異于橢圓的左頂點），設點Q是x軸上的一個動點．直線QM，QN的斜率分別為
，
，試問：是否存在點Q，使得
為定值？若存在．求出點Q的坐標及定值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
；（2）在x軸上存在點
，使得
為定值
．
【解析】
（1）根據實軸長為4，焦距為
直接代入即可
（2）當直線l與x軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意；所以直線l的斜率k存在，設直線l的方程為
，把它和橢圓方程聯立，利用韋達定理求出兩根之和與兩根之積，代入到中，令對應項系數成比例即可.
解：（1）設橢圓C的半焦距為c．
因為橢圓C的長軸長為4，焦距為，
所以
，
解得
．則
．
故橢圓C的標準方程為
故答案為：．
（2）假設存在滿足條件的點
，
當直線l與x軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意；所以直線l的斜率k存在，設直線l的方程為．
聯立
，
得
，
．
設點
，
，
則
，
，
要使為定值．則需滿足
，
解得
．
此時
．
所以在x軸上存在點，使得為定值
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖：在三棱錐
中，
面
，
是直角三角形，
，
，
，點
、
、
分別為
、
、
的中點.
（1）求證：
；
（2）求直線
與平面
所成的角的正弦值；
（3）求二面角
的正切值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的離心率為
，以原點
為圓心，橢圓
的長半軸為半徑的圓與直線
相切.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）已知點
， 
為動直線
與橢圓
的兩個交點，問：在
軸上是否存在點
，使
為定值？若存在，試求出點
的坐標和定值，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，且
，向量
， 
.
（1）求函數
的解析式，并求當
時， 
的單調遞增區間；
（2）當
時， 
的最大值為5，求
的值；
（3）當
時，若不等式
在
上恒成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）.為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關，現采集到某城市周一至周五某一時間段車流量與PM2.5的數據如下表：
時間 | 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 |
車流量×（萬輛） | 50 | 51 | 54 | 57 | 58 |
PM2.5的濃度（微克/立方米） | 60 | 70 | 74 | 78 | 79 |
（1）根據上表數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程
；
（2）若周六同一時間段的車流量是25萬輛，試根據（1）求出的線性回歸方程，預測此時PM2.5的濃度為多少（保留整數）？
參考公式：由最小二乘法所得回歸直線的方程是：，其中
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的是（ ）
A. 命題“若
，則
”的逆否命題為真命題
B. 命題“若
，則
”的否命題為“若，則
”
C. 命題“
，使得
”的否定是“
，都有”
D. 若
，則“
”是“
”的充分不必要條件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)當a＝1，b＝－2時，求函數f(x)的不動點；
(2)若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)圖象上A，B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且A，B兩點關于直線y＝kx＋
對稱，求b的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解中學生對交通安全知識的掌握情況，從農村中學和城鎮中學各選取100名同學進行交通安全知識競賽.下圖1和圖2分別是對農村中學和城鎮中學參加競賽的學生成績按
，
，
，
分組，得到的頻率分布直方圖.
（Ⅰ）分別估算參加這次知識競賽的農村中學和城鎮中學的平均成績；
（Ⅱ）完成下面
列聯表，并回答是否有
的把握認為“農村中學和城鎮中學的學生對交通安全知識的掌握情況有顯著差異”？
成績小于60分人數 | 成績不小于60分人數 | 合計 | |
農村中學 | |||
城鎮中學 | |||
合計 |
附：
臨界值表：
| 0.10 | 0.05 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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