Question

【題目】已知圓M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）與曲線C：（y﹣2）（3x﹣4y+3）=0有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
（1）求圓M的方程；
（2）已知點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)． ①若 ，求|MQ|及直線MQ的方程；
②求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)橹本�3x﹣4y+3=0與圓M相切，

故圓心（0，2）到直線的距離為r，即： ，r=1．

所以圓的方程為x2+（y﹣2）2=1．

（2）解：①設(shè)直線MQ，AB交于點(diǎn)P，則 ，

又|AM|=1，所以 ，

而|AM|2=|MP||MQ|，所以|MQ|=3，

設(shè)Q（x0，0），而點(diǎn)M（0，2），由 ， ，

則 或 ，

從而直線MQ的方程為： 或 ．

②證明：設(shè)點(diǎn)Q（q，0），由幾何性質(zhì)可以知道，A，B在以MQ為直徑的圓上，

此圓的方程為x2+y2﹣qx﹣2y=0，AB為兩圓的公共弦，

兩圓方程相減得qx﹣2y+3=0，

即 ，

所以過(guò)定點(diǎn) ．

【解析】（1）因?yàn)橹本�3x﹣4y+3=0與圓M相切，圓心（0，2）到直線的距離為r，即可求圓M的方程；（2）①|(zhì)AM|2=|MP||MQ|，所以|MQ|=3，求出Q的坐標(biāo)，即可求出直線MQ的方程；②求出直線AB的方程，即可證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．