Question

一束光線從點(diǎn)A（-1，0）出發(fā)，經(jīng)過直線l：2x-y+3=0上的一點(diǎn)D反射后，經(jīng)過點(diǎn)B（1，0）．
（1）求以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)D的橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)B（1，0）作直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，以AP、AQ為鄰邊作平行四邊形APRQ，求對角線AR長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出點(diǎn)A（-1，0）關(guān)于直線l：2x-y+3=0的對稱點(diǎn)為，由題設(shè)知橢圓長軸長等于|A′B|，從而求出a，b，c，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線l：x=my+1，（m∈R），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立方程組，消去x得：（my+1）²+2y²=2，然后利用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)間距離公式，能夠求出對角線AR長度的取值范圍．
解答：解：（1）點(diǎn)A（-1，0）關(guān)于直線l：2x-y+3=0的對稱點(diǎn)為，
∴，c=1，∴b²=1，
所以所求橢圓方程為：．
（2）設(shè)直線l：x=my+1，（m∈R），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯(lián)立方程組，
消去x得：（my+1）²+2y²=2，
即（m²+2）y²+2my-1=0，
∴
∵
∴
令，
則，
∴．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．