Question

【題目】已知函數f（x）=sin2x+2 sinxcosx+sin（x+ ）sin（x﹣ ），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和單調增區間；
（2）若x=x0（0≤x0≤ ）為f（x）的一個零點，求cos2x0的值．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）=sin2x+ sin2x+ （sin2x﹣cos2x）= + sin2x﹣ cos2x，

= sin2x﹣cos2x+ =2sin（2x﹣ ）+ ，

∴f（x）的周期為π，由﹣ +2kπ≤2x﹣ ≤ +2kπ得：﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z．

∴f（x）的單調遞增區間為[﹣ +kπ， +kπ]k∈Z．

（2）解：由f（x0）=2sin（2x0﹣ ）+ =0，得sin（2x0﹣ ）=﹣ ＜0，

又由0≤x0≤ 得﹣ ≤2x0﹣ ≤ ，

∴﹣ ≤2x0﹣ ≤0，故cos（2x0﹣ ）= ，

此時cos2x0=cos[（2x0﹣ ）+ ]=cos（2x0﹣ ）cos ﹣sin（2x0﹣ ）sin = × ﹣（﹣ ）× =

【解析】（1）利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（2x﹣ ）+ ，利用正弦函數的周期性與單調性即可求得f（x）的最小正周期和單調增區間；（2）由f（x0）=2sin（2x0﹣ ）+ =0，得sin（2x0﹣ ）=﹣ ＜0，0≤x0≤ ，可得﹣ ≤2x0﹣ ≤0，于是可求得cos（2x0﹣ ）的值，利用兩角和的余弦即可求得答案．