Question

（2012•瀘州二模）已知雙曲線方程

x2

2

-

y2

2

=1，橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A、D分別是雙曲線和橢圓的右準線與x軸的交點，B、C分別為雙曲線和橢圓的右頂點，O為坐標原點，且|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數列．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若E是橢圓長軸的左端點，動點M滿足MC⊥CE，連接EM，交橢圓于點P，在x軸上有異于點E的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由雙曲線方程

x2

2

-

y2

2

=1，可求A(1，0)，B(

2

，0)，根據|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數列，可得C(2，0)，D(2

2

，0)，根據D是橢圓的右準線與x軸的交點，C為橢圓的右頂點，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（-2，0），將y=k（x+2）代入

x2

4

+

y2

2

=1整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，可求P的坐標；設Q（x₀，0），x₀≠-2，若以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點，則MQ⊥CP，從而有

MQ

•

CP

=0，進而可知存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點．

解答：解：（Ⅰ）由已知A是雙曲線的右準線與x軸的交點，B為雙曲線的右頂點，雙曲線方程

x2

2

-

y2

2

=1，
∴A(1，0)，B(

2

，0)
∵|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數列．
∴C(2，0)，D(2

2

，0)
∵D是橢圓的右準線與x軸的交點，C為橢圓的右頂點，
∴a=2，

a2

c

=2

2

∴a=2，b=c=

2

∴所求橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（-2，0），設直線EM的方程為：y=k（x+2），P（x₁，y₁）
∵MC⊥CE，∴M（2，4k）
將y=k（x+2）代入

x2

4

+

y2

2

=1整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0
∵-2x1=

8k2-4

1+2k2

∴x1=

-4k2+2

1+2k2

∴y1=k(x1+2)=

4k

1+2k2

∴P（

-4k2+2

1+2k2

， 

4k

1+2k2

）
設Q（x₀，0），x₀≠-2
若以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點，則MQ⊥CP
∴

MQ

•

CP

=0
∵

MQ

=(x0-2，-4k)，

CP

=(

-8k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)
∴

MQ

•

CP

=(x0-2，-4k)• (

-8k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)=0
∴

8k2

1+2k2

×x0 =0
∴x₀=0
∴存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線CP、MQ的交點．

點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是將兩直線與橢圓方程聯立，將向量關系轉化為坐標關系．