Question

已知f（x）是定義域為（0，+∞）的函數，當x∈（0，1）時f（x）＜0．現針對任意正實數x、y，給出下列四個等式：
①f（xy）=f（x） f（y）；
②f（xy）=f（x）+f（y）；
③f（x+y）=f（x）+f（y）；
④f（x+y）=f（x） f（y）．
請選擇其中的一個等式作為條件，使得f（x）在（0，+∞）上為增函數．并證明你的結論．

Answer 1

分析：選擇的等式代號②．賦值可得f（1）=0，f（ 

1

x

）=-f（x）．設0＜x₁＜x₂，可得f（ 

x1

x2

）＜0，可得f（ 

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）＜0，由單調性的定義可得．

解答：解：選擇的等式代號是    ②．                      3′
證明：在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），故f（1）=0．  6′
又f（1）=f（x•

1

x

）=f（x）+f（ 

1

x

）=0，f（ 

1

x

）=-f（x）． （※）               9′
設0＜x₁＜x₂，則0＜

x1

x2

＜1，
∵x∈（0，1）時f（x）＜0，∴f（

x1

x2

 ）＜0
又∵f（ 

x1

x2

）=f（x₁）+f（ 

1

x2

），由（※）知f（ 

1

x2

）=-f（x₂）
∴f（ 

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（0，+∞）上為增函數．                         14′

點評：本題考抽象函數的單調性和證明，正確賦值是解決問題的關鍵，屬中檔題．