Question

【題目】已知函數f（x）= sinxcosx﹣cos2x+ ，（x∈R）．
（1）若對任意x∈[﹣ ， ]，都有f（x）≥a，求a的取值范圍；
（2）若先將y=f（x）的圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，然后再向左平移 個單位得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）﹣ 在區間[﹣2π，4π]內的所有零點之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= sinxcosx﹣cos2x+

= sin2x﹣ cos2x=sin（2x﹣ ），

若對任意x∈[﹣ ， ]，都有f（x）≥a，

則只需 f（x）min≥a即可．

∵2x﹣ ∈[﹣ ， ]，故當2x﹣ =﹣ 時，

f（x）min=﹣ ，故 a≤﹣ ．

（2）解：若先將y=f（x）的圖象上每個點縱坐標不變，

橫坐標變為原來的2倍，可得y=sin（x﹣ ）的圖象；

然后再向左平移 個單位得到函數y=g（x）=sinx的圖象．

令g（x）﹣ =0，求得sinx= ，

求函數y=g（x）﹣ 在區間[﹣2π，4π]內的所有零點之和．

由圖可知，sinx= 在區間[﹣2π，4π]內有6個零點：x1，x2，x3，x4，x5，x6，

根據對稱性有 =﹣ ， = ， = ，

從而所有零點和為：x1+x2+x3+x4+x5+x6=3π．

【解析】（1）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，根據題意，x∈[﹣ ， ]時，f（x）min≥a．再利用正弦函數的定義域和值域，求得f（x）的最小值，可得a的范圍．（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得g（x）的解析式，根據正弦函數的圖象的對稱性，求得函數y=g（x）﹣ 在區間[﹣2π，4π]內的所有零點之和．