Question

【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) .

（1）若在處的取得極值為1，求及的值；

（2）時(shí)，討論函數(shù)的極值；

（3）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)，函數(shù)有極小值， 無極大值；（3）1.

【解析】

（1）根據(jù)，可求及的值；

（2）求出，對(duì)進(jìn)行分類討論，求函數(shù)的極值；

（3）令，直線與曲線沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程在上沒有實(shí)數(shù)解.由零點(diǎn)存在定理可得的取值范圍，從而求得的最大值.

（1）由，得.

由題意得，，即，

解得，.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

，.

（2），

①當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無極值.

②當(dāng)時(shí)，令，得，

.

所以在上單調(diào)遞減， 在 上單調(diào)遞增，

故在處取得極小值， 且極小值為，無極大值.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；

當(dāng)，函數(shù)有極小值， 無極大值.

（3）當(dāng)時(shí)，.

令，

則直線與曲線沒有公共點(diǎn)，

等價(jià)于方程在上沒有實(shí)數(shù)解.

當(dāng)時(shí)，，

又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾，故.

又時(shí)，，此時(shí)方程在上沒有實(shí)數(shù)解.，

所以，的最大值為1.