Question

已知函數f（x）=x²-4x+3．
（Ⅰ）求證：對于任意的x（x∈R）都有f（sinx）≥0恒成立．
（Ⅱ）若銳角a滿足f（4sinα）=f（2cosα），求sinα．
（Ⅲ）若f（2^x+2^-x+a）＜f（

3

2

）對于任意的x∈[-1，1]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數f（x）=x²-4x+3我們易得到x≤1或x≥3時，f（x）≥0，根據正弦函數的值域為[-1，1]，易得到對于任意的x（x∈R）都有f（sinx）≥0恒成立．
（Ⅱ）若銳角a滿足f（4sinα）=f（2cosα），則4sinα=2cosα或4sinα+2cosα=4，結合同角三角函數關系即可得到對應sinα值．
（Ⅲ）若f（2^x+2^-x+a）＜f（

3

2

）對于任意的x∈[-1，1]恒成立，我們可以構造一個關于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范圍．

解答：證明：（Ⅰ）∵x≤1或x≥3時，f（x）≥0
∵-1≤sinx≤1
∴f（sinx）≥0
解：（Ⅱ）∵f（4sinα）=f（2cosα）
∴4sinα=2cosα或4sinα+2cosα=4且α是銳角
∴sinα=

2 5

5

或sinα=

3

5

（Ⅲ）g（x）=2^x+2^-x+a（x∈[-1，1]）是偶函數，且g（x）在[-1，0]是減函數，在[0，1]上是增函數．
∴

g(x)min=2+a＞ 3 2 g(x)max= 5 2 +a＜ 5 2

解得-

1

2

＜a＜0

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，指數不等式的解法，三角函數的性質及同角三角函數的關系，其中根據二次函數的圖象及性質，判斷出函數f（x）=x²-4x+3的性質是解答本題的關鍵．