Question

本題（1）（2）（3）三個選答題，每小題5分，請考生任選1題作答，如果多做，則按所做的前1題計分．
（1）（選修4-1，幾何證明選講）如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a

2

，點E，F分別為線段AB，CD的中點，則EF=

a

2

．
（2）（選修4-4，坐標系與參數方程）在極坐標系（ρ，θ）（0≤θ≤2π）中，曲線ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的交點的極坐標為

（

2

，

3π

4

）

．
（3）（選修4-1，不等式選講）已知函數f（x）=|x-a|．若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，則實數a的值為

a=2

．

Answer 1

分析：（1）要求EF的長，關鍵是關鍵是構造一個三角形，使EF位于該三角形，解三角形即可求解；
（2）先將原極坐標方程ρ=2sinθ與ρcosθ=-1化成直角坐標方程，再利用直角坐標方程求出交點，最后再轉化成極坐標；
（3）根據絕對值不等式的解法，我們可得f（x）≤3的解集a-3≤x≤a+3，再由已知中f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，由此可以構造一個關于a的方程，解方程組，即可得到答案．

解答：解：（1）連接DE，
∵四邊形ABCD為直角梯形，AB=AD=a，CD=

a

2

，CB⊥AB，點E，F分別為線段AB，AD的中點
∴△AED為直角三角形．則EF是RT△AED斜邊上的中線，
由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，EF=

1

2

DE=

1

2

AB=

a

2

．
故答案為：

a

2

（2）兩條曲線的普通方程分別為x²+y²=2y，x=-1．
解得

x=-1 y=1.

由

x=ρcosθ y=ρsinθ

得點（-1，1），極坐標為 (

2

，

3π

4

)．
故答案為：(

2

，

3π

4

)．
（3）由|x-a|≤3得a-3≤x≤a+3，
所以

a-3=-1 a+3=5

解之得a=2為所求，
故答案為：2．

點評：（1）連接DE，構造含有線段EF的直角三角形是解答本題的關鍵，由此可得，解決平面幾何的求值和證明問題，輔助線的添加是基礎．
（2）本小題考查點的極坐標和直角坐標的互化，利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．
（3）本題考查的知識點是帶絕對值的函數、絕對值不等式的解法．