Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C上的點(diǎn)(2，1)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸下方，且＝3.求過(guò)O，A，B三點(diǎn)的圓的方程．

 

Answer 1

（1）＝1（2）x2＋y2－x－y＝0.

【解析】(1)由題意，設(shè)橢圓C：＝1(a＞b＞0)，則2a＝4，a＝2.

因?yàn)辄c(diǎn)(2，1)在橢圓＝1上，所以＋＝1，解得b＝.

所以所求橢圓的方程為＝1.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＜0，y2＞0)．點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(3，0)．

則＝3.，得即①

又點(diǎn)A，B在橢圓C上，所以解得?

所以B ，代入①，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，－)．

因?yàn)?/span>·＝0，所以OA⊥AB.

所以過(guò)O，A，B三點(diǎn)的圓就是以OB為直徑的圓．

其方程為x2＋y2－x－y＝0.