Question

已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為2，過其右焦點且傾斜角為45°的直線被雙曲線截得的弦MN的長為6．
（Ⅰ）求此雙曲線的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與該雙曲線交于兩個不同點A、B，且以線段AB為直徑的圓過原點，求定點Q（0，-1）到直線l的距離d的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出雙曲線的標準方程根據離心率求得a和c的關系，把直線MN的方程代入雙曲線方程整理得2x²+4ax-7a²=0．設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而用弦長公式表示出||MN|求得a，進而根據離心率求得c，進而求得b，則雙曲線方程可得．
（2）直線l與雙曲線法才聯立消去y，設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），利用韋達定理表示出x₃+x₄和x₃x₄，依據以線段AB為直徑的圓過原點，所以x₃x₄+y₃y₄=0．代入求得由點到直線的距離表示出d，根據k的范圍確定m的范圍，進而求得d的最大值，此時的直線l的方程可得．
解答：解：（Ⅰ）設雙曲線的方程是（a＞0，b＞0），
則由于離心率，所以c=2a，b²=3a²．
從而雙曲線的方程為，且其右焦點為F（2a，0）．
把直線MN的方程y=x-2a代入雙曲線的方程，消去y并整理，得2x²+4ax-7a²=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2a，．
由弦長公式，得==6．
所以a=1，b²=3a²=3．
從而雙曲線的方程是．
（Ⅱ）由y=kx+m和，消去y，得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0．
根據條件，得△=4k²m²-4（3-k²）（-m²-3）＞0且3-k²≠0．
∴m²+3＞k²≠3．
設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），則，．
由于以線段AB為直徑的圓過原點，所以x₃x₄+y₃y₄=0．
即（1+k²）x₃x₄+km（x₃+x₄）+m²=0．
從而有，即．
∴點Q到直線l：y=kx+m的距離為：．
由≥0，解得且．
由≠3，解得．
所以當時，d取最大值，此時k=0．
因此d的最大值為，此時直線l的方程是．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．此類題是歷年高考命題的熱點，試題具有一定的綜合性，覆蓋面大，不僅考查“三基”掌握的情況，而且重點考查學生的作圖、數形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算，以及運用數學知識分析問題和解決問題的能力．