Question

定義函數集合M={f（x）|f′（x）＞0}，N={f（x）|f″（x）＞0}，（其中f′（x）為f（x）的導函數，f″（x）為f′（x）的導函數），D=M∩N，以下5個函數中 ①f（x）=e^x，②f（x）=lnx，③f（x）=x^-2，x∈（-∞，0），④f（x）=x+

1

x

，x∈（1，+∞），⑤f（x）=cosx，x∈(o，

π

2

)  屬于集合D的有（　　）

A．①④⑤

B．①②④

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：根據題目給出的集合D的定義，知道集合D中的元素應是導函數和導函數的導函數都在給定的定義域內為正值的函數，對5個函數逐一進行判斷就可得到答案．

解答：解：由函數集合M={f（x）|f′（x）＞o}，N={f（x）|f″（x）＞0}，（其中f′（x）為f（x）的導函數，f″（x）為f′（x）的導函數），D=M∩N，
知集合D中的元素是f^′（x）與f^′′（x）均大于0的f（x）構成，
對于f（x）=e^x，f^′（x）=f^′′（x）=e^x＞0，滿足題意，所以①是集合D中的元素；
對于f（x）=lnx，因為x＞0，所以f′(x)=

1

x

＞0，f′′(x)=(

1

x

)′=-

1

x2

＜0，所以②不合題意；
對于f（x）=x^-2，x∈（-∞，0），f^′（x）=-2x^-3＞0，f^′′（x）=（-2x^-3）′=6x^-4＞0，所以③是集合D中的元素；
對于f（x）=x+

1

x

，x∈（1，+∞），f′(x)=(x+

1

x

)′=1-

1

x2

＞0，f′′(x)=(1-

1

x2

)′=

2

x3

＞0，所以④是集合D中的元素；
對于f（x）=cosx，x∈(o，

π

2

)，f^′（x）=（cosx）^′=-sinx＜0，所以，⑤不合題意．
故選D．

點評：本題考查了導數的運算及元素與集合關系的判斷，是新定義題，解答此題的關鍵是熟記基本初等函數的求導公式及導數的運算法則，同時掌握簡單的復合函數的求導運算．