Question

已知在4支不同編號的槍中有3支已經試射校正過，1支未經試射校正．某射手若使用其中校正過的槍，每射擊一次擊中目標的概率為；若使用其中未校正的槍，每射擊一次擊中目標的概率為，假定每次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響．
（I）若該射手用這3支已經試射校正過的槍各射擊一次，求目標被擊中的次數為奇數的概率；
（II）若該射手用這4支搶各射擊一次，設目標被擊中的次數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式求出目標被擊中的次數為1與3的概率，最后根據互斥事件的概率進行求解即可；
（II）ξ可能的取值為0，1，2，3，4，然后利用n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率分別求出相應的概率，列出分布列，最后利用數學期望公式解之即可．
解答：解：（I）記“該射手用這3支已經試射校正過的槍各射擊一次，目標被擊中的次數為i”為事件A_i（i=0，1，2，3），且彼此互斥；記“該射手用這3支已經試射校正過的槍各射擊一次，目標被擊中的次數為奇數”為事件B．
∵P（A₁）==，P（A₃）==
∴P（B）=P（A₁）+P（A₃）=+=
答：目標被擊中的次數為奇數的概率為．
（II）ξ可能的取值為0，1，2，3，4
∵P（ξ=0）==
P（ξ=1）=+=
P（ξ=2）=+=
P（ξ=3）=+=
P（ξ=4）==
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P

∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=
答：隨機變量ξ的數學期望為．
點評：本題主要考查了n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，以及離散型隨機變量的期望與分布列，同時考查了計算能力，屬于中檔題．