Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）若時，關于的方程有唯一解，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ) ．

【解析】試題分析：(1)首先函數的定義域要求x>0，對函數求導，針k為奇數和偶數兩種情況考查導數的符號，借助導數的正負說明函數的增減性；（2）當k=2014時，寫出函數f(x)的表達式，使關于的方程有唯一解，只需有唯一根，構造函數，對函數g(x)求導，令，得，研究函數個g(x)在 上的單調性和和g(x)的極小值，由于有唯一解，則要求則根據兩式的結構發現可構造函數，由于 h(x)在上單增且，說明中的，從而解得 .

試題解析：

(Ⅰ) 由已知得x＞0且．

當k是奇數時， ，則f(x)在(0,+ )上是增函數;

當k是偶數時，則．

所以當x 時， ，當x 時， ．

故當k是偶數時，f (x)在上是減函數，在上是增函數．

(Ⅱ) 若，則．

記， ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；

令,得．

因為，所以（舍去），．

當時， ， 在是單調遞減函數；

當時， ， 在上是單調遞增函數．

當x=x2時, ， ．因為有唯一解，所以．

則 即設函數，

因為在x>0時，h (x)是增函數，所以h (x) = 0至多有一解．

因為h (1) = 0，所以方程(*)的解為x 2 = 1，從而解得