Question

已知(x2-

1

5 x3

)5的展開式中的常數項為T，f（x）是以T為周期的偶函數，且當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區間[-1，3]內，函數g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先求出展開式中的常數項T，求得函數的周期是2，由于g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，即函數f（x）與r（x）=kx+k有四個交點，根據兩個函數的圖象特征轉化出等價條件，得到關于k的不等式，求解易得．

解答：解：∵(x2-

1

5 x3

)5的常數項為

C

2 5

×

1

5

=2
∴f（x）是以2為周期的偶函數
∵區間[-1，3]是兩個周期
∴區間[-1，3]內，函數g（x）=f（x）-kx-k有4個零點可轉化為f（x）與r（x）=kx+k有四個交點
當k=0時，兩函數圖象只有兩個交點，不合題意
當k≠0時，∵r（-1）=0，兩函數圖象有四個交點，必有0＜r（3）≤1解得0＜k≤

1

4

故答案為：(0，

1

4

]

點評：本題考點二項式定理，主要考查依據題設條件靈活轉化的能力，如g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，即函數f（x）與r（x）=kx+k有四個交點，靈活轉化是正確轉化是解題的關鍵．