【題目】已知數列
的前
項和為
，
，
是6與
的等差中項
.
（1）求數列的通項公式；
（2）是否存在正整數
，使不等式
恒成立，若存在，求出
的最大值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
；(2)存在,
.
【解析】
試題分析：(1)解法一:根據
是
與
的等差中項,利用等差中項得到
,當
時有
,-得:
,從而可得數列通項；解法二:根據
是
與
的等差中項,利用等差中項得到
,根據該式的結構特征,利用構造法,可構造出等比數列
,從而求得
,進而利用
得到數列的通項；(2)根據(1)的結論可知,數列是等比數列,所以可以得到其前
項和,代入
化簡,討論
的奇偶發現,為奇數時,恒成立；為偶數時,可將其轉化為二次函數在固定區間恒成立問題,利用單調性可判斷是否存在這樣的正整數
.
試題解析：（1）解法一：因為
是6與
的等差中項，
所以
，即
，
當
時有
得
，即
對
都成立
又根據
有
即
，所以
所以
.所以數列
是首項為1，公比為
的等比數列.
解法二：因為是6與的等差中項
所以，即，
由此得
，
又
，所以
，
所以數列
是以為
首項，
為公比的等比數列.
得
，即
，
所以，當
時，
，
又
時，
也適合上式，所以
.
（2）根據（1）的結論可知，
數列
是首項為1，公比為
的等比數列，
所以其前
項和為
.
原問題等價于
恒成立.
當
為奇數時，不等式左邊恒為負數，右邊恒為正數，所以對任意正整數
不等式恒成立；
當
為偶數時，
等價于
恒成立，
令
，有
，則
等價于
在恒成立，
因為為正整數，二次函數
的對稱軸顯然在
軸左側，
所以當時，二次函數為增函數，故只須
，解得
，
，所以存在符合要求的正整數，且最大值為11.
小學生10分鐘口算測試100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高三文科
名學生參加了
月份的模擬考試，學校為了了解高三文科學生的數學、語文情況，利用隨機數表法從中抽取
名學生的成績進行統計分析，抽出的名學生的數學、語文成績如下表.
（1）將學生編號為:
, 若從第
行第列的數開始右讀，請你依次寫出最先抽出的 個人的編號(下面是摘自隨機用表的第四行至第七行)
（2）若數學優秀率為
，求
的值；
（3）在語文成績為良的學生中，已知
，求數學成績“優”比“良”的人數少的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市有一直角梯形綠地
，其中
，
km，
km．現過邊界
上的點
處鋪設一條直的灌溉水管
，將綠地分成面積相等的兩部分．
（1）如圖①，若為的中點，
在邊界
上，求灌溉水管的長度；
（2）如圖②，若在邊界
上，求灌溉水管的最短長度．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了整頓食品的安全衛生，食品監督部門對某食品廠生產甲、乙兩種食品進行了檢測調研，檢測某種有害微量元素的含量，隨機在兩種食品中各抽取了10個批次的食品，每個批次各隨機地抽取了一件，下表是測量數據的莖葉圖（單位：毫克）.
規定：當食品中的有害微量元素的含量在
時為一等品，在
為二等品，20以上為劣質品.
（1）用分層抽樣的方法在兩組數據中各抽取5個數據，再分別從這5個數據中各選取2個，求甲的一等品數與乙的一等品數相等的概率；
（2）每生產一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣質品虧損20元，根據上表統計得到甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質品的頻率，分別估計這兩種食品為一等品、二等品、劣質品的概率，若分別從甲、乙食品中各抽取1件，設這兩件食品給該廠帶來的盈利為
，求隨機變量的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統計結果繪成頻率分別直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學生人數相同，甲班學生每天平均學習時間在區間
的有8人．
（I）求直方圖中
的值及甲班學生每天平均學習時間在區間
的人數；
（II）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試，設4人中甲班學生的人數為
，求
的分布列和數學期望．
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