Question

若函數f（x）=2^|x+7|-|3x-4|的最小值為2，求自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：依題意，2^|x+7|-|3x-4|≥2
∴|x+7|-|3x-4|≥1，（2分）
當時，不等式為x+7-（3x-4）≥1解得x≤5，即（3分）
當時，不等式為x+7+（3x-4）≥1解得，即； （4分）
當x＜-7時，不等式為-x-7+（3x-4）≥1，解得 x≥6，與x＜-7矛盾 （5分）
∴自變量x的取值范圍為． （7分）
分析：分三種情況：①當時；②當時；③當x＜-7時對函數f（x）=2^|x+7|-|3x-4|，討論去絕對值，得函數f（x）為分段函數．分別解相應范圍內的不等式，先交后并，最終可以得出滿足條件的自變量x的取值范圍．
點評：本題考查了函數最值的應用，以及函數和不等式相綜合等問題，屬于基礎題．按絕對值等于零的零點進行分類討論，將函數化為分段函數來解決最值問題，是解決本小題的關鍵．