Question

（1）圓O是△ABC的外接圓，過點C的圓的切線與AB的延長線交于點D，CD=2

7

，AB=BC=3，求BD以及AC的長．
（2）已知曲線C₁的極坐標方程為ρ=6cosθ，曲線C₂的極坐標方程為θ=

π

4

，曲線C₁，C₂相交于A，B兩點
（I）把曲線C₁，C₂的極坐標方程轉化為直角坐標方程；
（II）求弦AB的長度．
（3）已知a，b，c都是正數，且a，b，c成等比數列，求證：a²+b²+c²＞（a-b+c）²．

Answer 1

分析：（1）結合線割線定理，我們可以求出DB的長，再由△DBC∽△DCA根據相似三角形的性質可以求出AC的長；
（2）（Ⅰ）利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得曲線C₂及曲線C₁的直角坐標方程；（Ⅱ）利用直角坐標方程的形式，先求出圓心（3，0）到直線的距離，最后結合點到直線的距離公式弦AB的長度；
（3）左邊減去右邊等于2（ab+bc-ac ），用等比數列的定義以及基本不等式可得 a+c＞b，進而推出2（ab+bc-ac ）＞0，從而證得不等式成立．

解答：（1）解：由切割線定理得：DB•DA=DC²，即DB（DB+BA）=DC²，
∴DB²+3DB-28=0，得DB=4．
∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，∴

BC

CA

=

DB

DC

，
∴AC=

BD•DC

DB

=

3 7

2

；
（2）解：（Ⅰ）曲線C₂：θ=

π

4

表示直線y=x，曲線C₁：ρ=6cosθ，即ρ²=6ρcosθ，所以x²+y²=6x，即（x-3）²+y²=9
（Ⅱ）∵圓心（3，0）到直線的距離d=

3 2

2

，r=3，
∴弦長AB=2

9- 9 2

=3

2

（3）證明：∵a²+b²+c² -（a-b+c）²=2（ab+bc-ac ）．
∵a，b，c都是正數，且a，b，c成等比數列，
∴b² =ac＜（

a+c

2

）²，
開方可得

a+c

2

＞b，故 a+c＞2b＞b．
∴2（ab+bc-ac ）=2（ab+bc-b² ）=2b（a+c-b）＞0，
∴a²+b²+c² -（a-b+c）²＞0，
∴a²+b²+c²＞（a-b+c）² ．

點評：本題考查選講知識，考查幾何證明選講，考查極坐標方程，考查不等式的證明，綜合性強．