Question

如圖，在面積為1的正△A₁B₁C₁內作正△A₂B₂C₂，使

A1A2

=2

A2B1

，

B1B2

=2

B2C1

，

C1C2

=2

C2A1

，依此類推，在正△A₂B₂C₂內再作正△A₃B₃C₃，…．記正△A_iB_iC_i的面積為a_i（i=1，2，…，n），則a₁+a₂+…+a_n=

3

2

(1-

1

3n

)

．

Answer 1

分析：先利用邊長之間的關系得出三角形的面積組成以 1為首項，

1

3

為公比的等比數列，利用等比數列的求和公式進行求和

解答：解：由

A1A2

=2

A2B1

，

B1B2

=2

B2C1

，

C1C2

=2

C2A1

，可得S2=

1

3

S1
依此類推可得所作三角形的面積構成以1為 項，以

1

3

為公比的等比數列
∴a₁+a₂+…+a_n=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)
故答案為：

3

2

(1-

1

3n

)

點評：本題主要考查等比數列的和的求解，關鍵是從實際問題中抽象出等比數列的模型，進而再利用等比數列的求和公式