Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

（1）若f（2）=4，求a的值；
（2）x＞0時(shí)，f（x）的圖象如圖，看圖指出y=f（x）（x＞0）的減區(qū)間，并證明你的結(jié)論．
（3）請根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出f（x）（x＜0）的草圖（無需列表）．

Answer 1

分析：（1）把x=2代入f（x），求得a的值；
（2）由圖象得y=f（x）（x＞0）的減區(qū)間，用定義證明f（x）的單調(diào)性；
（3）f（x）是定義域上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，根據(jù)x＞0時(shí)f（x）的圖象，可以畫出x＜0時(shí)f（x）的圖象．

解答：解：（1）∵f(2)=2+

a

2

=4∴a=4，即a的值是4；
（2）由圖知，y=f（x）（x＞0）的減區(qū)間是(0，

a

)
證明：設(shè)任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂＜

a

；
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

a

x1

）-（x₂+

a

x2

）=(x1-x2)(1-

a

x1x2

)=(x1-x2)(

x1x2-a

x1x2

)；
∵0＜x1＜x2＜

a

，∴x₁x₂＜a，∴x₁x₂-a＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
∴f（x）在(0，

a

)上單調(diào)遞減．
（3）∵函數(shù)f(x)=x+

a

x

（x≠0），∴f（-x）=-x+

a

-x

=-（x+

a

x

）=-f（x），
∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；
根據(jù)x＞0時(shí)f（x）的圖象，畫出x＜0時(shí)f（x）的圖象，如圖．

點(diǎn)評：本題考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，根據(jù)函數(shù)的圖象寫出單調(diào)性以及應(yīng)用奇偶性畫出函數(shù)的圖象等知識，是基礎(chǔ)題．