Question

(本小題共14分)已知是由滿足下述條件的函數構成的集合：對任意，①方程有實數根；②函數的導數滿足．

（Ⅰ）判斷函數是否是集合中的元素，并說明理由；

（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質：若的定義域為，則對于任意，都存在，使得等式成立．試用這一性質證明：方程有且只有一個實數根；

（Ⅲ）對任意，且，求證：對于定義域中任意的，，，當，且時，.

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）因為①當時，，

所以方程有實數根0；

②，

所以，滿足條件；

由①②，函數是集合中的元素.        …………5分

（Ⅱ）假設方程存在兩個實數根，，

則，.

不妨設，根據題意存在，

滿足.

因為，，且，所以.

與已知矛盾.又有實數根，

所以方程有且只有一個實數根.                 …………10分

（Ⅲ）當時，結論顯然成立；

當，不妨設.

因為,且所以為增函數，那么.

又因為，所以函數為減函數，

所以.

所以，即.

因為，所以，  （1）

又因為，所以， （2）

（1）（2）得即.

所以.

綜上，對于任意符合條件的,總有成立.……14分

【解析】本題是一道以集合為背景的創新題，考查函數的性質和不等式的證明。考查學生的理解能力和分析能力。讀懂題意是解題的前提，解題是注意分類討論思想的應用。