Question

已知直線l:x=m(m<-2)與x軸交于A點,動圓M與直線l相切,并且與圓O:x²+y²=4相外切,

(1)求動圓的圓心M的軌跡C的方程;

(2)若過原點且傾斜角為的直線與曲線C交于M、N兩點,問是否存在以MN為直徑的圓經過點A?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

m=-6-2時,以MN為直徑的圓恰好過點A.

解析:

(1)設動圓圓心為M(x,y),則

|OM|==2+(x-m),

化簡得y²=2(2-m)x+(2-m)²(m<-2),這就是動圓圓心的軌跡C的方程.

(2)直線MN的方程為y=x,代入曲線C的方程得3x²-2(2-m)x-(2-m)²=0,

顯然Δ=16(2-m)²>0.

設M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),則x₁+x₂=(2-m),x₁x₂=-(2-m)²,

而y₁y₂=x₁·x₂=3x₁x₂,

若以MN為直徑的圓過點A,則AM⊥AN,

∴k_AM·k_AN=-1.

由此得4x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²=0.

∴-(2-m)²-m··(2-m)+m²=0,即m²+12m-16=0.

解得m₁=-6-2,m₂=-6+2(舍).

故當m=-6-2時,以MN為直徑的圓恰好過點A.