Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是線段A₁C₁的中點，AC∩BD=F．
（Ⅰ）求證：CE⊥BD；
（Ⅱ）求證：CE∥平面A₁BD；
（Ⅲ）求三棱錐D-A₁BC的體積．

Answer 1

分析：（I）由已知中正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD與AC為底面正方形的對角線，互相垂直，結合正方體性質，我們結合線面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACC₁A₁，進而得到CE⊥BD；
（Ⅱ） 連接A₁F，我們易證明A₁F∥CE，進而結合線面平行的判定定理，我們易得到CE∥平面A₁BD；
（Ⅲ） 由三棱錐D-A₁BC的體積等于三棱錐A₁-DBC的體積，我們分別計算出棱錐的高及三角形DBC的面積，代入棱錐體積公式即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）根據正方體的性質BD⊥AC，
因為AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥AA₁，又AC∩AA₁=A
所以BD⊥平面ACC₁A₁，CE?平面ACC₁A₁，所以CE⊥BD；
（Ⅱ）連接A₁F，
因為AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁，
所以ACC₁A₁為平行四邊形，因此A₁C₁∥AC，A₁C₁=AC
由于E是線段A₁C₁的中點，所以CE∥FA₁，因為FA₁?面A₁BD，CE?平面A₁BD，
所以CE∥平面A₁BD
（Ⅲ）VD-A1BC=VA1-BCD=

1

3

•S△BCD•A1A=

a3

6

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積及直線與平面垂直的判定與性質，熟練掌握空間中直線與平面位置關系的判定方法、性質、定義是解答此類問題的關鍵．