Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）已知是的一個極值點，求曲線在處的切線方程

（Ⅱ）討論關于的方程根的個數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求函數的導數，利用x=2是f (x)的一個極值點，得f' (2) =0建立方程求出a的值，結合導數的幾何意義進行求解即可；

（Ⅱ）利用參數法分離法得到，構造函數求出函數的導數研究函數的單調性和最值，利用數形結合轉化為圖象交點個數進行求解即可.

（Ⅰ）因為，則，

因為是的一個極值點，所以，即，

所以，

因為，，

則直線方程為，即；

（Ⅱ）因為，所以，

所以，設，則，

所以在上是增函數，在上是減函數，

故，

所以，所以，

設，則，

所以在上是減函數，上是增函數，

所以，

所以當時，，函數在是減函數，

當時，，函數在是增函數，

因為時，，，，

所以當時，方程無實數根，

當時，方程有兩個不相等實數根，

當或時，方程有1個實根.