Question

如圖所示，是正三角形，和都垂直于平面，且，是的中點.

求證：（1）平面；
（2）.

Answer 1

（1）根據題意，取AB中點N，連接FN、NC；又F為BE的中點 ∴FN為的中位線,那么FN∥AE，進而得到平行性，AE∥CD，得到結論。
（2）對于已知中，由于AE="AB"  F是BE的中點 在中N是AB的中點  ∴AF⊥BE  CN⊥AB，那么根據線面垂直的性質定理來的得到結論。

試題分析：證明：（1）取AB中點N，連接FN、NC；又F為BE的中點 ∴FN為的中位線, ∴FN∥AE  FN=AE   又AE、CD都垂直與面ABC，2CD=AE   ∴AE∥CD   ∴ CD∥FN且CD=FN
∴四邊形CDFN為平行四邊形  ∴DF∥CN   又CN面ABC  ∴ DF∥面ABC
（2）∵AE="AB"  F是BE的中點 在中N是AB的中點  ∴AF⊥BE  CN⊥AB
∵AE⊥面ABC  AE面ABE   ∴面ABE⊥面ABC  又CN⊥AB   ∴CN⊥面ABE
∴ DF⊥面ABE   ∴ DB在平面ABE的射影為BF   ∴ AF⊥BD
點評：主要是考查了熟練的運用中位線來證明平行和線面垂直的性質定理的運用，屬于基礎題。