Question

已知函數f(x)=

kx+b

x2+c

（c＞0且c≠1，k＞0）恰有一個極大值點和一個極小值點，且其中一個極值點是x=-c
（1）求函數f（x）的另一個極值點；
（2）設函數f（x）的極大值為M，極小值為m，若M-m≥1對b∈[1，

3

2

]恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導函數，令導函數為0得到方程；兩個極值點是此方程的兩個根；利用韋達定理，求出另一個極值點．
（2）判斷兩個極值點左右兩邊的導函數的符號，求出極大值與極小值，代入已知不等式，解關于b的一次不等式恒成立，將區間兩個端點代入不等式即可．

解答：解：（1）f′(x)=

-kx2-2bx+ck

(x2+c)2

=0時，x₁•x₂=-c
∵x=-c是其中一個極值點
∴另一個極值點為1
（2）由f′(-c)=0得k=

2b

c-1

由（1）可知，f（x）在-∞-c）是減函數；在（-c，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數
∴M=f(1)=

k+b

1+c

，n=f(-c)=

-kc+b

c2+c

∴M-m=

k+b

1+c

-

-kc+b

c2+c

=

k

2

+

k2

2(k+2b)

≥1對b∈[1，

3

2

]恒成立
即（k-2）b+k²-k≥0對b∈[1，

3

2

]恒成立
∴

k2-k≥2-k k2-k≥(2-k)• 3 2

解得k≥

3

2

點評：解決函數的極值問題，要注意極值點處的導數值為0；解決一次不等式恒成立只需將區間的兩個端點代入不等式．