Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，且，求證：.

Answer 1

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，等價(jià)于 對(duì)于任意恒成立，即對(duì)于任意恒成立，利用基本不等式求出函數(shù)最小值，從而可得結(jié)果；（2）設(shè).令，則，原不等式等價(jià)于，可證明在上遞增.又因?yàn)?/span>，則，從而可得結(jié)論.

（1）依題意，導(dǎo)數(shù) 對(duì)于任意恒成立，即不等式

對(duì)于任意恒成立，即不等式對(duì)于任意恒成立;

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(2)由于目標(biāo)不等式中兩個(gè)字母與可以輪換，則不妨設(shè).令，則.

欲證目標(biāo)不等式

. （※）

根據(jù)（1）的結(jié)論知，當(dāng)時(shí)在上遞增.又因?yàn)?/span>，則

，則不等式（※）正確，故原目標(biāo)不等式得證.