【題目】已知函數
.
（1）求
的單調遞增區間；
（2）若函數有兩個極值點
且
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）
的定義域為
，對求導，分
、
和
三種情況，分別討論，可求得函數的單調遞增區間；
（2）由（1）知有兩個極值點
時，等價于方程
有兩個不等正根，可求得
，
，及
，
，由
恒成立，可得
恒成立，構造函數
，求導并判斷單調性可知
，令
即可.
（1）的定義域為，求導得
，
令
，得，
，
若時，
，
在上恒成立，單調遞增；
若
時，
，方程的兩根為
，
.
當時，
，
，則
時，
，故在
單調遞增；
當時，
，則
或時，，故在
和上單調遞增.
綜上，當時，的單調遞增區間為
；當時，的單調遞增區間為
，；當時，的單調遞增區間為.
（2）由（1）知有兩個極值點時，等價于方程的有兩個不等正根
，
，，，
此時不等式恒成立，等價于
對
恒成立，
可化為
恒成立，
令，
則
，
，
，
，
在
恒成立，
在上單調遞減，
，
.
故實數
的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
，
為參數），以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的坐標方程為
，若直線與曲線相切.
（1）求曲線的極坐標方程；
（2）在曲線上取兩點
、
于原點構成
，且滿足
，求面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．
(1)判斷直線l與圓C的位置關系；
(2)設直線l與圓C交于A，B兩點，若直線l的傾斜角為120°，求弦AB的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直三棱柱
中，
且
，
是棱
上的動點，
是
的中點.
（1）當是中點時，求證：
平面
；
（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面
所成銳二面角為
，若存在，求
的長，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦距為
，橢圓
上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線
與橢圓交于
兩點，點
（0，1），且
=
，求直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
：
的左、右焦點分別是
、
，左、右兩頂點分別是
、
，弦AB和CD所在直線分別平行于x軸與y軸，線段BA的延長線與線段CD相交于點
如圖)．
⑴若
是的一條漸近線的一個方向向量，試求的兩漸近線的夾角
；
⑵若
，
，
，
，試求雙曲線的方程；
⑶在⑴的條件下，且
，點C與雙曲線的頂點不重合，直線
和直線
與直線l：
分別相交于點M和N，試問：以線段MN為直徑的圓是否恒經過定點？若是，請求出定點的坐標；若不是，試說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地環保部門跟蹤調查一種有害昆蟲的數量．根據調查數據，該昆蟲的數量
（萬只）與時間
（年）（其中
）的關系為
．為有效控制有害昆蟲數量、保護生態環境，環保部門通過實時監控比值
（其中
為常數，且
）來進行生態環境分析．
（1）當
時，求比值
取最小值時
的值；
（2）經過調查，環保部門發現：當比值
不超過
時不需要進行環境防護．為確保恰好3年不需要進行保護，求實數
的取值范圍．（
為自然對數的底， 
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，四邊形
為平行四邊形，
，
為
中點,
（1）求證：
平面
；
（2）若
是正三角形，且
.
(Ⅰ)當點
在線段
上什么位置時，有
平面
？
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，點
在線段
上什么位置時，有平面
平面
？
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