Question

【題目】已知函數.

（1）若，求曲線在處的切線方程；

（2）討論函數的單調性；

（3）若關于x的不等式恒成立，且k的最小值是m，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，在為增函數，無減區間；

當時，在為增函數，在為減函數；（3）見解析.

【解析】

（1）求出后可得曲線在處的切線方程.

（2）就、時分別討論函數的符號后可得的單調性.

（3）根據（2）中的結論可得，其中滿足，消去得到，再利用導數可得為增函數且存在唯一零點，故此不等式的解為，由此可得，利用分析法結合的范圍可證.

（1）當時，，，

，所以曲線在處的切線方程為,

而，故切線方程為.

（2），

當時，，故在為增函數，無減區間.

當時，令，解得或（舍）

當時，，故在為增函數；

當時，，故在為減函數；

綜上，當時，在為增函數，無減區間；

當時，在為增函數，在為減函數.

（3）由（2）可知，當，在為增函數，

因為，與題設矛盾，舍.

當時，在為增函數，在為減函數，

所以，因為不等式恒成立，故.

令，則.

消去，則有即，

令，，則，故為上的增函數.

又，，

因為，故，故.

所以在上有且只有一個零點，設為的零點，

故不等式的解為且.

又，因為函數在為減函數，

故當時，即，也就是.

要證，即證，

即證，也就是證明，

即證.

因為，而，

故成立，所以成立.