Question

已知關于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）求上述不等式的解；
（2）是否存在實數k，使得上述不等式的解集A中只有有限個整數？若存在，求出使得A中整數個數最少的k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設原不等式的解集為A，然后分k大于0且不等于2，k等于2，小于0和等于0四種情況考慮，當k等于0時，代入不等式得到關于x的一元一次不等式，求出不等式的解集即為原不等式的解集；當k大于0且k不等于2時，不等式兩邊除以k把不等式變形后，根據基本不等式判斷k+

2

k

與4的大小即可得到原不等式的解集；當k等于2時，代入不等式，根據完全平方式大于0，得到x不等于4，進而得到原不等式的解集；當k小于0時，不等式兩邊都除以k把不等式變形后，根據k+

2

k

小于4，得到原不等式的解集，綜上，得到原不等式的解集；
（2）根據（1）中求出的不等式的解集A，得到當k小于0時，A中的整數解個數有限個，利用基本不等式求出k+

2

k

的最大值，進而求出此時k的值．

解答：解：（1）設原不等式的解集為A，
當k=0時，A=（-∞，4）；（2分）
當k＞0且k≠2時，原不等式化為[x-（k+

4

k

）]（x+4）＞0，
∵k+

4

k

＞4，（4分）
∴A=(-∞，4)∪(k+

4

k

，+∞)；（5分）
當k=2時，A=（-∞，4）∪（4，+∞）；（不單獨分析k=2時的情況不扣分）
當k＜0時，原不等式化為[x-（k+

4

k

）]（x-4）＜0，
∴A=(k+

4

k

，4)；（7分）
（2）由（1）知：當k≥0時，A中整數的個數為無限個；（9分）
當k＜0時，A中整數的個數為有限個，（11分）
因為k+

4

k

≤-4，當且僅當k=-2時取等號，（12分）
所以當k=-2時，A中整數的個數最少．（14分）

點評：此題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數學思想，是一道中檔題．