已知頂點為原點
的拋物線
的焦點
與橢圓
的右焦點重合,與
在第一和第四象限的交點分別為
.
(1)若
是邊長為
的正三角形，求拋物線的方程；
(2)若
，求橢圓的離心率
.
（1）拋物線的方程為
；（2）橢圓的離心率
.
解析試題分析：（1）先根據(jù)拋物線及橢圓的幾何性質(zhì)得到點關(guān)于
軸對稱，進而由
求得
點的坐標
，接著代入拋物線的方程可求得
的值，從而可確定拋物線的方程；（2）先根據(jù)確定的橫坐標為，進而代入橢圓的方程可確定點的坐標
，再將該點的坐標代入拋物線
，從中可得關(guān)系式
，另一方面
，從而得到
，即
，只須求解關(guān)于的方程即可得到
內(nèi)的解.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的右焦點為
，依題意得拋物線的方程為
∵是邊長為的正三角形，∴點的坐標是
代入拋物線的方程解得
，故所求拋物線的方程為
（2）∵，∴點的橫坐標是代入橢圓方程解得
，即點的坐標是
∵點在拋物線上，∴
即
將
代入上式整理得：
即，解得
∵
，故所求橢圓的離心率.
考點：1.橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)；2.拋物線的標準方程及其幾何性質(zhì).
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足
， 
，M點的軌跡為曲線C。
（1）求C的方程；
（2）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，已知
，
，
，
分別是橢圓
的四個頂點，△
是一個邊長為2的等邊三角形，其外接圓為圓
．
（1）求橢圓
及圓
的方程；
（2）若點
是圓
劣弧
上一動點（點異于端點
，
），直線
分別交線段
，橢圓于點，，直線
與
交于點
．
（ⅰ）求
的最大值；
（ⅱ）試問：.
.，
兩點的橫坐標之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率
，且直線
是拋物線
的一條切線.
（1）求橢圓的方程；
（2）點P 
為橢圓上一點，直線
，判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由；
（3）過橢圓上一點P作橢圓的切線交直線
于點A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知點
，圓C：
與橢圓E:
有一個公共點
，
分別是橢圓的左、右焦點，直線
與圓C相切．
（1）求m的值與橢圓E的方程；
（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的右焦點為
，短軸的端點分別為
,且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點且斜率為
的直線
交橢圓于
兩點，弦
的垂直平分線與
軸相交于點
.設(shè)弦的中點為
，試求
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)橢圓C1：
的右焦點為F，P為橢圓上的一個動點．
（1）求線段PF的中點M的軌跡C2的方程；
（2）過點F的直線l與橢圓C1相交于點A、D，與曲線C2順次相交于點B、C，當
時，求直線l的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓
，直線
與
相交于
、
兩點，與
軸、
軸分別相交于
、
兩點，
為坐標原點.
（1）若直線的方程為
，求
外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段
的兩個三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
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與拋物線
交于兩點A、B，如果弦
的長度
.
的值；
（O為原點）。