Question

【題目】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知， .

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(Ⅰ) 由，得，兩式相減，化簡(jiǎn)可得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，利用裂項(xiàng)相消法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和為，從而可得.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由，得，

兩式相減，得 ，

， .

當(dāng)時(shí)， ， ，則.

數(shù)列是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列.

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 .

.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.