Question

已知函數(shù)f(x)=ln

1-x

1+x

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并加以證明；
（3）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)f（x）的定義域，可令

1-x

1+x

＞0，解出此不等式的解集即可得到所求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，要用定義法，由函數(shù)解析式研究f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可證明出函數(shù)的性質(zhì)；
（3）此函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)，由定義法證明要先任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，再兩函數(shù)值作差，判斷差的符號(hào)，再由定義得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意令

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，所以函數(shù)的定義域是（-1，1）
（2）此函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，證明如下
由（1）知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(-x)=ln

1+x

1-x

=-ln

1-x

1+x

=-f(x)，故函數(shù)是奇函數(shù)；
（3）此函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=ln

1-x1

1+x1

-ln

1-x2

1+x2

=ln

(1-x1)(1+x2)

(1-x2)(1+x1)

由于x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，∴1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，可得

(1-x1)(1+x2)

(1-x2)(1+x1)

＞1，
所以ln

(1-x1)(1+x2)

(1-x2)(1+x1)

＞0
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故函數(shù)在定義域是減函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，判斷函數(shù)的奇偶性，定義法證明函數(shù)單調(diào)性，正確解答本題，關(guān)鍵是熟練記憶函數(shù)的性質(zhì)及這些性質(zhì)判斷的方法，其中判斷函數(shù)的單調(diào)性是本題的難點(diǎn)，定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，其步驟是；取，作差，判號(hào)，得出結(jié)論，其中判號(hào)這一步易疏漏，切記