Question

（1）已知a，b，c為實數，證明a，b，c均為正整數的充要條件是

a+b+c＞0 ab+bc+ca＞0 abc＞0

；
（2）已知方程x³+px²+qx+r=0的三根α，β，γ都是實數，證明α，β，γ是一個三角形的三邊的充要條件是

p＜0，q＞0，r＜0 p3＞4pq-8r

．

Answer 1

證明：（1）條件的必要性是顯然的，
因為已知a＞0，b＞0，c＞0，
所以立即可得a+b+c＞0，
ab+bc+ca＞0，abc＞0．
下面證明條件的充分性：
設a，b，c是三次方程x³+px²+qx+r=0的三個根，
則由根與系數的關系及已知條件有-p=a+b+c＞0，
q=ab+bc+ca＞0，-r=abc＞0，
此即p＜0，q＞0，r＜0．
由此即可知三次方程x³+px²+qx+r=0的系數正負相間，
所以此方程無負根，即方程根均非負；
又由abc＞0可知，方程無零根，
故a＞0，b＞0，c＞0；
（2）由（1）的證明可知，α，β，γ均為正數的充要條件是p＜0，q＞0，r＜0．
于是問題轉化為證明α，β，γ為三角形三條邊的充要條件為p³＞4pq-8r
條件的必要性：
若α，β，γ為三角形的三邊，
則由三角形的性質必有α+β＞γ，β+γ＞α，γ+α＞β．
于是α+β-γ＞0，β+γ-α＞0，γ+α-β＞0．
由此可得（α+β-γ）（β+γ-α）（γ+α-β）
=（-p-2α）（-p-2β）（-p-2γ）
=-（p+2α）（p+2β）（p+2γ）
=-[p³+2（α+β+γ）p²+4（βγ+γα+αβ）p+8αβγ]
=-（p³-2p³+4pq-8r）=p³-4pq+8r＞0
即p³＞4pq-8r．
條件的充分性：若p³＞4pq-8r，
則p³-4pq+8r＞0，
-（α+β+γ）³+4（α+β+γ）（αβ+βγ+γα）-8αβγ＞0，
（α+β+γ）（2αβ+2βγ+2γα-α²-β²-γ²）-8αβγ＞0，
[α+（β+γ）][-（β-γ）²+2α（β+γ）-α²]-8αβγ＞0，
-α³+α²（β+γ）+α（β-γ）²-（β+γ）（β-γ）²＞0，
α²（-α+β+γ）+（β-γ）²（α-β-γ）＞0，
（-α+β+γ）[α²-（β-γ）²]＞0，
（-α+β+γ）（α+β-γ）（α-β+γ）＞0．
此式中至少有一因式大于0，今設-α+β+γ＞0，
則必有（α+β-γ）（α-β+γ）＞0．
如果α+β-γ＜0，α-β+γ＜0，
兩式相加得2a＜0，
即α＜0，此與α＞0相矛盾
故有-α+β+γ＞0，α+β-γ＞0，α-β+γ＞0，
此即

β+γ＞α α+β＞γ α+γ＞β

此即α，β，γ可作為一個三角形的三條邊．
綜上所證可知，
方程x³+px²+qx+r=0的三根α，β，γ為一個三角形的三條邊的充要條件是

p＜0，q＞0，r＜0 p3＞4pq-8r

．